医疗纠纷申请诉讼的流程是：
1、当事人应当向人民递交起诉状和符合起诉条件的相应的证据；
2、起诉状除原件以外，还应当按照被告人数提出副本；
3、符合法定条件的，人民应当受理。
【法律依据】
《中华人民共和国民事诉讼法》第一百二十条
起诉应当向人民递交起诉状，并按照被告人数提出副本。书写起诉状确有困难的，可以口头起诉，由人民记入笔录，并告知对方当事人。
《医疗纠纷预防和处理条例》第二十二条
发生医疗纠纷，医患双方可以通过下列途径解决：
(一)双方自愿协商；
(二)申请人民调解；
(三)申请行政调解；
(四)向人民提起诉讼；
(五)法律、法规规定的其他途径。